Diviseurs premiers de $1+a+a^2+\dots+a^6$

Une propriété arithmétique de $X=\sum _{i=0}^6{a}^i$

Soit $a\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$ et $X=1+a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6$. Soit $p$ un diviseur premier positif de $X$.

1. Montrer que $a^7\equiv 1[p]$, puis que $p\wedge a=1$.
2. On suppose que $7$ ne divise pas $p-1$. Montrer qu'il existe $(m,n)\in {\mathbb{N}}^2$ tel que $(p-1)m-7n=1$, puis en déduire que $a\equiv 1[p]$ et enfin que $p=7$.
3. Conclure que tout diviseur premier $p$ de $X$ vérifie $p=7$ ou $p\equiv 1[7]$.