Carrés et premiers de la forme 4 k + 3 Soit p premier de la forme p = 4 k + 3 ( k ∈ N ) et x ∈ Z tel que x 2 + 1 ≡ 0 [ p ] . Vérifier que x 4 k + 2 ≡ − 1 [ p ] , puis montrer que p ∧ x = 1 et que x 4 k + 2 ≡ 1 [ p ] . En déduire que l'équation x 2 + 1 ≡ 0 [ p ] n'a pas de solution dans Z . Soient a , b ∈ Z avec a 2 + b 2 ≡ 0 [ p ] . Montrer que a ≡ 0 [ p ] et b ≡ 0 [ p ] .

Non-existence de solutions de $x^2\equiv -1\ [p]$ pour $p\equiv 3\ [4]$

Difficile

Énoncé

Carrés et premiers de la forme $4 k + 3$

Soit $p$ premier de la forme $p = 4 k + 3$ ( $k \in N$ ) et $x \in Z$ tel que $x^{2} + 1 \equiv 0 [p]$ . Vérifier que $x^{4 k + 2} \equiv - 1 [p]$ , puis montrer que $p \land x = 1$ et que $x^{4 k + 2} \equiv 1 [p]$ . En déduire que l'équation $x^{2} + 1 \equiv 0 [p]$ n'a pas de solution dans $Z$ .
Soient $a, b \in Z$ avec $a^{2} + b^{2} \equiv 0 [p]$ . Montrer que $a \equiv 0 [p]$ et $b \equiv 0 [p]$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pars de $x^2\\equiv -1\\ [p]$ et eleve les deux membres a une puissance bien choisie pour faire apparaitre $x^{p-1}$.

2 Indice 2

En elevant a la puissance $2k+1$ tu obtiens $x^{4k+2}\\equiv -1$ ; d'autre part le petit theoreme de Fermat donne $x^{p-1}=x^{4k+2}\\equiv 1$.

3 Indice 3

La contradiction donne $p\\mid 2$ ; pour la question 2, si $p\\nmid a$, introduis l'inverse de $a$ pour te ramener a l'equation insoluble de la question 1.

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Pars de $x^{2} e q u i v - 1 [p]$ et eleve les deux membres a une puissance bien choisie pour faire apparaitre $x^{p - 1}$ .

En elevant a la puissance $2 k + 1$ tu obtiens $x^{4 k + 2} e q u i v - 1$ ; d'autre part le petit theoreme de Fermat donne $x^{p - 1} = x^{4 k + 2} e q u i v 1$ .

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Non-existence de solutions de $x^2\equiv -1\ [p]$ pour $p\equiv 3\ [4]$

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