لتكن f معرفة على I = [ 0 ; + ∞ [ بـ f ( x ) = 1 + x 2 x . لكل x ∈ [ 0 ; 2 π [ نضع g ( x ) = 0 ∫ t a n 2 x f ( t ) d t . بين أن g قابلة للاشتقاق على [ 0 ; 2 π [ وأن g ′ ( x ) = 4 tan 2 x . عين g ( x ) ، ثم استنتج المساحة A للمجال المحدود بـ ( C f ) ومحور ( O x ) والمستقيمين x = 0 و x = 1 . من أجل n ∈ N ∗ ، نضع S n = n 1 k = 0 ∑ n − 1 f ( n k ) . بين أن A − n 1 ≤ S n ≤ A واستنتج n → + ∞ lim S n .

Aire sous $f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}$ et somme de Riemann

Difficile

لتكن $f$ معرفة على $I = [0; + \infty [$ بـ $f (x) = \frac{2 x}{1 + x}$ . لكل $x \in [0; \frac{π}{2} [$ نضع $g (x) = 0 \int t a n^{2} x f (t) d t$ .

بين أن $g$ قابلة للاشتقاق على $[0; \frac{π}{2} [$ وأن $g^{'} (x) = 4 tan^{2} x$ .
عين $g (x)$ ، ثم استنتج المساحة $A$ للمجال المحدود بـ $(C_{f})$ ومحور $(O x)$ والمستقيمين $x = 0$ و $x = 1$ .
من أجل $n \in N^{*}$ ، نضع $S_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f (\frac{k}{n})$ . بين أن $A - \frac{1}{n} \leq S_{n} \leq A$ واستنتج $n \to + \infty lim S_{n}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

فكر في صيغة اشتقاق دالة مركبة $g(x) = G(u(x))$ حيث $u(x)=\tan^2 x$.

2 الإرشاد 2

بسط $f(\tan^2 x)$ باستعمال $\sqrt{\tan^2 x} = \tan x$ على المجال المعطى.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للمساحة لاحظ ان $\tan^2 x = 1$ يقابل $x = \pi/4$ اذن $g(\pi/4)$ يعطي مباشرة التكامل المطلوب.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

فكر في صيغة اشتقاق دالة مركبة $g (x) = G (u (x))$ حيث $u (x) = tan^{2} x$ .

بسط $f (tan^{2} x)$ باستعمال $tan^{2} x = tan x$ على المجال المعطى.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points