نص التمرين نعتبر الدالة F المعرفة من أجل x > 0 بـ F ( x ) = x 2 ∫ 4 x 2 t e − t d t و F ( 0 ) = 2 ln 2 . بين أنه من أجل كل t > 0 : − t ≤ e − t − 1 ≤ 0 ، وتحقق من أنه من أجل كل x > 0 : x 2 ∫ 4 x 2 t 1 d t = 2 ln 2 . استنتج أنه من أجل كل x > 0 : − 3 x 2 ≤ F ( x ) − 2 ln 2 ≤ 0 ، ثم أن F قابلة للاشتقاق على اليمين في 0 وحدد F d ′ ( 0 ) .

Encadrement et dérivabilité à droite d'une fonction intégrale

Difficile

نعتبر الدالة $F$ المعرفة من أجل $x > 0$ بـ $F (x) = x^{2} \int 4 x^{2} \frac{e ^{- t}}{t} d t$ و $F (0) = 2 ln 2$ .

بين أنه من أجل كل $t > 0$ : $- t \leq e^{- t} - 1 \leq 0$ ، وتحقق من أنه من أجل كل $x > 0$ : $x^{2} \int 4 x^{2} \frac{1}{t} d t = 2 ln 2$ .
استنتج أنه من أجل كل $x > 0$ : $- 3 x^{2} \leq F (x) - 2 ln 2 \leq 0$ ، ثم أن $F$ قابلة للاشتقاق على اليمين في $0$ وحدد $F_{d}^{'} (0)$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

من أجل المتراجحة، ادرس الدالة $\varphi(t)=e^{-t}-1+t$: احسب $\varphi(0)$ و $\varphi'(t)$ لتبين أن $\varphi$ تزايدية على $[0;+\infty[$.

2 الإرشاد 2

اكتب $F(x)-2\ln 2$ كتكامل واحد بدمج $\displaystyle\int_{x^2}^{4x^2}\dfrac{e^{-t}}{t}\,dt$ و $\displaystyle\int_{x^2}^{4x^2}\dfrac{1}{t}\,dt$.

3 الإرشاد 3

اقسم التأطير المحصل عليه على $x>0$ للتعرف على معدل التغير $\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0}$، ثم استعمل مبرهنة التقارب (الحراس) عندما $x\to 0^{+}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

من أجل المتراجحة، ادرس الدالة $φ (t) = e^{- t} - 1 + t$ : احسب $φ (0)$ و $φ^{'} (t)$ لتبين أن $φ$ تزايدية على $[0; + \infty [$ .

اكتب $F (x) - 2 ln 2$ كتكامل واحد بدمج $x^{2} \int 4 x^{2} \frac{e ^{- t}}{t} d t$ و $x^{2} \int 4 x^{2} \frac{1}{t} d t$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points