نص التمرين نعتبر الدالة F المعرفة من أجل x > 0 بـ: F ( x ) = x ∫ 2 x ln ( 1 + t 2 ) 1 d t بين أنه من أجل كل x > 0 ، يوجد c ∈ ] x , 2 x [ بحيث F ( x ) = ln ( 1 + c 2 ) x . استنتج أنه من أجل كل x > 0 : ln ( 1 + 4 x 2 ) x ≤ F ( x ) ≤ ln ( 1 + x 2 ) x .

Encadrement d'une fonction intégrale par la méthode de la moyenne

Difficile

نعتبر الدالة $F$ المعرفة من أجل $x > 0$ بـ:

$F (x) = x \int 2 x \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )} d t$

بين أنه من أجل كل $x > 0$ ، يوجد $c \in] x, 2 x [$ بحيث $F (x) = \frac{x}{ln ( 1 + c ^{2} )}$ .
استنتج أنه من أجل كل $x > 0$ : $\frac{x}{ln ( 1 + 4 x ^{2} )} \leq F (x) \leq \frac{x}{ln ( 1 + x ^{2} )}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

فكر في مبرهنة الوسط للمكاملات، مطبقة على المجال $[x,2x]$.

2 الإرشاد 2

اكتب ان $F(x)=x\cdot g(c)$ حيث $g(t)=\dfrac{1}{\ln(1+t^2)}$، مع $c$ بين $x$ و $2x$.

3 الإرشاد 3

استعمل رتابة $t\mapsto 1+t^2$ ثم $\ln$ لتاطير $\ln(1+c^2)$ بين $\ln(1+x^2)$ و $\ln(1+4x^2)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

فكر في مبرهنة الوسط للمكاملات، مطبقة على المجال $[x, 2 x]$ .

اكتب ان $F (x) = x \cdot g (c)$ حيث $g (t) = \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )}$ ، مع $c$ بين $x$ و $2 x$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points