المتراجحات التكاملية والقيمة المتوسطة

1. بين أن : $1\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x^2}dx\le e$

2. لتكن $f(x)=x\cdot \cos (x)$. أحسب $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}f(x)dx$ باستعمال المكاملة بالأجزاء.

3. أحسب القيمة المتوسطة للدالة $g(x)=x\cdot e^x$ على المجال $[0,1]$.

4. بين أن $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln 2$.