نص التمرين بالتعرف على مجاميع ريمان، احسب النهايات التالية: n → + ∞ lim k = 1 ∑ n n 2 k n → + ∞ lim k = 1 ∑ n n 2 + k 2 n n → + ∞ lim 3 n 4 1 k = 1 ∑ n 3 k

Limites de sommes de Riemann

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نص التمرين

بالتعرف على مجاميع ريمان، احسب النهايات التالية:

$n \to + \infty lim k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2}}$
$n \to + \infty lim k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}}$
$n \to + \infty lim \frac{1}{3 n ^{4}} k = 1 \sum n 3 k$

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour reconnaître une somme de Riemann, cherche à faire apparaître le facteur $\dfrac{1}{n}$ devant ta somme, puis identifie quelle fonction $f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ se cache dans chaque terme.

2 الإرشاد 2

Dans le premier exemple, factorise $\dfrac{1}{n}$ pour obtenir $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}$. Tu reconnais alors une somme de Riemann de $f(x)=x$ sur $[0,1]$, qu'il te reste à intégrer.

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Pour reconnaître une somme de Riemann, cherche à faire apparaître le facteur $\frac{1}{n}$ devant ta somme, puis identifie quelle fonction $f (\frac{k}{n})$ se cache dans chaque terme.

Dans le premier exemple, factorise $\frac{1}{n}$ pour obtenir $\frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n}$ . Tu reconnais alors une somme de Riemann de $f (x) = x$ sur $[0, 1]$ , qu'il te reste à intégrer.

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