برهان تركيبي ومتطابقة فانديرموند

ليكن n و p عددين صحيحين طبيعيين بحيث $p\le n$.

1. باستعمال برهان تركيبي (العد بطريقتين)، برهن على المتساوية التالية:
   $\sum _{k=0}^p{C}_n^k\times C_m^{p-k}=C_{n+m}^p$
   حيث m عدد صحيح طبيعي بحيث $p\le m$. (متساوية Vandermonde)
2. بأخذ m = n و p = n في متساوية Vandermonde، بين أن:
   $\sum _{k=0}^n{\left(C_n^k\right)}^2=C_{2n}^n$
3. احسب قيمة $\sum _{k=0}^4{\left(C_4^k\right)}^2$ ثم تحقق من النتيجة باستعمال الصيغة المحصل عليها.
4. باستعمال صيغة ثنائي الحد لـ Newton المطبقة على $(1+x{)}^n$، أوجد متساوية السؤال 2 بطريقة تحليلية.