التمرين 4 — صيغة ثنائي الحد لنيوتن ومتطابقات التوافيق الجزء A — النشر انشر ( 2 x − 1 ) 5 باستخدام صيغة ثنائي الحد لنيوتن. استنتج قيمة ( 2 × 3 − 1 ) 5 ، ثم تحقق مباشرة. الجزء B — الحد العام والحد الخاص حدد الحد العام T k لنشر ( x + 1/ x 2 ) 9 ، من أجل 0 ≤ k ≤ 9 . حدد قيمة k التي يكون من أجلها الحد T k مستقلاً عن x (الحد الثابت). الجزء C — متطابقات هامة بتطبيق صيغة ثنائي الحد لنيوتن على ( 1 + 1 ) n وعلى ( 1 − 1 ) n ، برهن على المتطابقتين التاليتين لكل عدد صحيح طبيعي n ≥ 1 : • C n 0 + C n 1 + C n 2 + ... + C n n = 2 n • C n 0 − C n 1 + C n 2 − ... + ( − 1 ) n C n n = 0 استنتج من السؤال السابق أن مجموع معاملات ثنائي الحد ذات الرتب الزوجية يساوي مجموع معاملات ثنائي الحد ذات الرتب الفردية، وأن كل من هذين المجموعين يساوي 2 n − 1 .

متطابقة نيوتن - النشر والتطبيقات

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4 — صيغة ثنائي الحد لنيوتن ومتطابقات التوافيق

الجزء A — النشر

انشر $(2 x - 1)^{5}$ باستخدام صيغة ثنائي الحد لنيوتن.
استنتج قيمة $(2 \times 3 - 1)^{5}$ ، ثم تحقق مباشرة.

الجزء B — الحد العام والحد الخاص

حدد الحد العام $T_{k}$ لنشر $(x + 1/ x^{2})^{9}$ ، من أجل $0 \leq k \leq 9$ .
حدد قيمة k التي يكون من أجلها الحد $T_{k}$ مستقلاً عن x (الحد الثابت).

الجزء C — متطابقات هامة

بتطبيق صيغة ثنائي الحد لنيوتن على $(1 + 1)^{n}$ وعلى $(1 - 1)^{n}$ ، برهن على المتطابقتين التاليتين لكل عدد صحيح طبيعي $n \geq 1$ :
• $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n} = 2^{n}$
• $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - ... + (- 1)^{n} C_{n}^{n} = 0$
استنتج من السؤال السابق أن مجموع معاملات ثنائي الحد ذات الرتب الزوجية يساوي مجموع معاملات ثنائي الحد ذات الرتب الفردية، وأن كل من هذين المجموعين يساوي $2^{n - 1}$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Pour la partie A, applique la formule du binôme : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Ici, identifie $a=2x$ et $b=-1$, puis développe terme par terme avec $n=5$.

2 الإرشاد 2

Pour la partie B, le terme général s'écrit $T_k = C_9^k \times x^{9-k} \times (x^{-2})^k$. Simplifie la puissance de $x$ et cherche quelle valeur de $k$ annule l'exposant total.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour la partie A, applique la formule du binôme : $(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ . Ici, identifie $a = 2 x$ et $b = - 1$ , puis développe terme par terme avec $n = 5$ .

Pour la partie B, le terme général s'écrit $T_{k} = C_{9}^{k} \times x^{9 - k} \times (x^{- 2})^{k}$ . Simplifie la puissance de $x$ et cherche quelle valeur de $k$ annule l'exposant total.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

الترميز العددي والعد مع قيود كل تمارين الدرس مثلث باسكال وثنائي نيوتن

متطابقة نيوتن - النشر والتطبيقات

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

متطابقة نيوتن - النشر والتطبيقات

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯