Codes numériques et dénombrement avec contraintes

Difficile Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Une banque à Rabat attribue à ses clients des codes d'accès à 5 chiffres formés à partir des chiffres {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (on peut répéter un chiffre).

  1. Combien de codes distincts peut-on former ?
  2. Combien de codes ont tous leurs chiffres distincts ?
  3. Combien de codes à chiffres distincts sont tels que les chiffres apparaissent en ordre strictement croissant (de gauche à droite) ?
  4. Parmi tous les codes à chiffres distincts, combien contiennent à la fois le chiffre 1 et le chiffre 7 ?
  5. Un client choisit un code à chiffres distincts au hasard parmi tous les codes possibles à chiffres distincts. Quelle est la probabilité que son code contienne à la fois le chiffre 1 et le chiffre 7 ?

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la question 1, chaque position parmi les 5 est indépendante et a 7 choix possibles.
2 Indice 2
Pour la question 2, il ne faut pas répéter de chiffre : pense à un arrangement de 5 chiffres parmi 7.
3 Indice 3
Pour la question 3, remarque que choisir 5 chiffres distincts détermine un unique ordre croissant : compte simplement une combinaison. Pour la question 4, fixe 1 et 7, puis choisis et ordonne les 3 chiffres restants.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, chaque position parmi les 5 est indépendante et a 7 choix possibles.

Pour la question 2, il ne faut pas répéter de chiffre : pense à un arrangement de 5 chiffres parmi 7.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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