Exercice 4 — Binôme de Newton et identités combinatoires Partie A — Développement Développer ( 2 x − 1 ) 5 à l'aide de la formule du binôme de Newton. En déduire la valeur de ( 2 × 3 − 1 ) 5 , puis vérifier directement. Partie B — Terme général et terme particulier Déterminer le terme général T k du développement de ( x + 1/ x 2 ) 9 , pour 0 ≤ k ≤ 9 . Déterminer la valeur de k pour laquelle le terme T k est indépendant de x (terme constant). Partie C — Identités remarquables En appliquant la formule du binôme de Newton à ( 1 + 1 ) n et à ( 1 − 1 ) n , établir les deux identités suivantes pour tout entier naturel n ≥ 1 : • C n 0 + C n 1 + C n 2 + ... + C n n = 2 n • C n 0 − C n 1 + C n 2 − ... + ( − 1 ) n C n n = 0 Déduire de la question précédente que la somme des coefficients binomiaux de rang pair est égale à la somme de ceux de rang impair, et que chacune de ces sommes vaut 2 n − 1 .

Binôme de Newton — Développement et applications

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4 — Binôme de Newton et identités combinatoires

Partie A — Développement

Développer $(2 x - 1)^{5}$ à l'aide de la formule du binôme de Newton.
En déduire la valeur de $(2 \times 3 - 1)^{5}$ , puis vérifier directement.

Partie B — Terme général et terme particulier

Déterminer le terme général $T_{k}$ du développement de $(x + 1/ x^{2})^{9}$ , pour $0 \leq k \leq 9$ .
Déterminer la valeur de k pour laquelle le terme $T_{k}$ est indépendant de x (terme constant).

Partie C — Identités remarquables

En appliquant la formule du binôme de Newton à $(1 + 1)^{n}$ et à $(1 - 1)^{n}$ , établir les deux identités suivantes pour tout entier naturel $n \geq 1$ :
• $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n} = 2^{n}$
• $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - ... + (- 1)^{n} C_{n}^{n} = 0$
Déduire de la question précédente que la somme des coefficients binomiaux de rang pair est égale à la somme de ceux de rang impair, et que chacune de ces sommes vaut $2^{n - 1}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la partie A, applique la formule du binôme : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Ici, identifie $a=2x$ et $b=-1$, puis développe terme par terme avec $n=5$.

2 Indice 2

Pour la partie B, le terme général s'écrit $T_k = C_9^k \times x^{9-k} \times (x^{-2})^k$. Simplifie la puissance de $x$ et cherche quelle valeur de $k$ annule l'exposant total.

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La méthode — par où commencer

Pour la partie A, applique la formule du binôme : $(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ . Ici, identifie $a = 2 x$ et $b = - 1$ , puis développe terme par terme avec $n = 5$ .

Pour la partie B, le terme général s'écrit $T_{k} = C_{9}^{k} \times x^{9 - k} \times (x^{- 2})^{k}$ . Simplifie la puissance de $x$ et cherche quelle valeur de $k$ annule l'exposant total.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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