Mots de code, triangle de Pascal et binôme de Newton

On dispose des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (tous distincts).

Partie A — Mots de code

1. Combien de nombres à 4 chiffres distincts peut-on former avec ces 7 chiffres ?
2. Parmi ces nombres, combien sont pairs ?
3. Parmi les nombres à 4 chiffres distincts formés avec ces 7 chiffres, combien sont supérieurs à 5 000 ?

Partie B — Triangle de Pascal et identité

4. En utilisant la relation de Pascal $C_{n+1}^p=C_n^{p-1}+C_n^p$, calculer $C_8^3$ en partant de valeurs connues (sans utiliser directement la formule factorielle).
5. Démontrer l'identité suivante pour tout entier $n\ge 1$ :
   $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n=2^n$
   en utilisant le binôme de Newton.

Partie C — Application du binôme

6. Développer $(2x-1{)}^5$ à l'aide de la formule du binôme de Newton.
7. En déduire la valeur de $(2\times 3-1{)}^5=5^5$ en retrouvant la somme développée.