دراسة دالة بوسيط حقيقي وأمثلية

التمرين 6 — عائلة من الدوال الوسيطية والأمثلية

لكل عدد حقيقي m، نعتبر الدالة $f_m$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$f_m(x)=x^3-3m{x}^2+3m^{2}x-1$

1. احسب $f_m^{\prime }(x)$. بين أن $f_m^{\prime }(x)=3(x-m{)}^2$.
2. الحالة m = 0 : ادرس تغيرات الدالة $f_0$ وبين أن $f_0$ تزايدية قطعا على $\mathbb{R}$ على الرغم من انعدام مشتقتها عند $x=0$.
3. الحالة العامة : بين أنه لكل عدد حقيقي m، الدالة $f_m$ تزايدية قطعا على $\mathbb{R}$. استنتج أنه لكل $m\in \mathbb{R}$، المعادلة $f_m(x)=0$ تقبل حلا حقيقيا وحيدا ${\alpha }_m$.
4. نضع $g(m)=f_m(1)=$ قيمة $f_m$ عند $x=1$. احسب $g(m)$، ثم أوجد قيمة m التي تصغر $|g(m)|$. (نبحث عن الوسيط m الذي من أجله يمر المنحنى $C_{f_m}$ أقرب ما يمكن من النقطة $(1;0)$.)