دراسة $f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$ وتقعرها — بكالوريا فرنسا 2024

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$f(x)=(x^2-2x+2)e^x$

1. احسب $f^{\prime }(x)$ و $f^{\prime \prime }(x)$. ثم عمل هاتين العبارتين.
2. ادرس تغيرات الدالة $f$ وضع جدول تغيراتها كاملا (نقبل أن $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$ لكل عدد صحيح طبيعي $n$).
3. ادرس تقعر الدالة $f$ وحدد نقط انعطافها المحتملة.
4. بين أن المعادلة $f(x)=0$ ليس لها حل في $\mathbb{R}$.
5. حدد معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x=0$, وحدد ما إذا كان هذا المماس فوق أو تحت $C_f$ بجوار 0.