نص التمرين لتكن F الدالة الأصلية للدالة f : x ↦ x 2 + 1 1 على R التي تحقق F ( 0 ) = 0 . بيّن أن F فردية. a) بيّن أنه ∀ x ∈ R + , F ( x ) ≥ ln ( x + 1 ) . b) استنتج x → + ∞ lim F ( x ) و x → − ∞ lim F ( x ) . بيّن أن F تقابل من R إلى R . نضع G = F − 1 . بيّن أن G قابلة للاشتقاق على R وأن G ′ ( x ) = 1 + G 2 ( x ) . بيّن أن G قابلة للاشتقاق مرتين وأنها حل للمعادلة y ′′ − y = 0 . عيّن G ( x ) ثم F ( x ) بدلالة x (لاحظ أن G ( 0 ) = 0 و G ′ ( 0 ) = 1 ).

Réciproque de la primitive de 1/√(x²+1) et équation y''-y=0

Difficile

لتكن $F$ الدالة الأصلية للدالة $f : x \mapsto \frac{1}{x ^{2} + 1}$ على $R$ التي تحقق $F (0) = 0$ .

بيّن أن $F$ فردية.
a) بيّن أنه $\forall x \in R^{+}, F (x) \geq ln (x + 1)$ . b) استنتج $x \to + \infty lim F (x)$ و $x \to - \infty lim F (x)$ .
بيّن أن $F$ تقابل من $R$ إلى $R$ . نضع $G = F^{- 1}$ .
بيّن أن $G$ قابلة للاشتقاق على $R$ وأن $G^{'} (x) = 1 + G^{2} (x)$ .
بيّن أن $G$ قابلة للاشتقاق مرتين وأنها حل للمعادلة $y^{''} - y = 0$ .
عيّن $G (x)$ ثم $F (x)$ بدلالة $x$ (لاحظ أن $G (0) = 0$ و $G^{'} (0) = 1$ ).

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للزوجية، اعتبر الدالة $g(x)=F(-x)+F(x)$ وبيّن أن مشتقتها معدومة باستعمال زوجية $f$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للتقابل، ادرس إشارة $F'(x)=f(x)$ لإثبات الرتابة الصارمة، ثم استعمل مبرهنة التقابل مع النهايتين عند $\pm\infty$.

3 الإرشاد 3

لاشتقاق $G=F^{-1}$، استعمل الصيغة $G'(x)=\dfrac{1}{F'(G(x))}$، ثم اشتق مرة أخرى للحصول على معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للزوجية، اعتبر الدالة $g (x) = F (- x) + F (x)$ وبيّن أن مشتقتها معدومة باستعمال زوجية $f$ .

بالنسبة للتقابل، ادرس إشارة $F^{'} (x) = f (x)$ لإثبات الرتابة الصارمة، ثم استعمل مبرهنة التقابل مع النهايتين عند $\pm \infty$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points