Équation y''-6y'+9y=2e^{3x} et primitive associée

Énoncé

On considère l'équation différentielle

$(E):y^{\prime \prime }-6y^{\prime }+9y=2e^{3x}$

et la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2{e}^{3x}$.

1. Résoudre l'équation homogène $(E_0):y^{\prime \prime }-6y^{\prime }+9y=0$.

2. a) Vérifier que $f$ est une solution de $(E)$. b) En déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. On pose $y=z{e}^{3x}$. a) Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z^{\prime \prime }=2$. b) Résoudre $(E)$.