Énoncé On considère l'équation différentielle ( E ) : y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 2 e 3 x et la fonction f ( x ) = x 2 e 3 x . Résoudre l'équation homogène ( E 0 ) : y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 . Vérifier que f est une solution de ( E ) . On pose y = z e 3 x . Montrer que y est solution de ( E ) si et seulement si z ′′ = 2 , puis résoudre ( E ) .

Second membre résonnant traité par changement de fonction

Difficile

On considère l'équation différentielle $(E) : y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = 2 e^{3 x}$ et la fonction $f (x) = x^{2} e^{3 x}$ .

Résoudre l'équation homogène $(E_{0}) : y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = 0$ .
Vérifier que $f$ est une solution de $(E)$ .
On pose $y = z e^{3 x}$ . Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z^{''} = 2$ , puis résoudre $(E)$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour résoudre $(E_0)$, calcule le discriminant de l'équation caractéristique $r^2-6r+9=0$ : que remarques-tu ?

2 Indice 2

Pour vérifier que $f$ est solution, calcule $f'$ et $f''$ puis remplace dans $y''-6y'+9y$.

3 Indice 3

Pose $y=ze^{3x}$, calcule $y'$ et $y''$ en fonction de $z$, $z'$, $z''$, puis remplace dans l'équation pour simplifier.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour résoudre $(E_{0})$ , calcule le discriminant de l'équation caractéristique $r^{2} - 6 r + 9 = 0$ : que remarques-tu ?

Pour vérifier que $f$ est solution, calcule $f^{'}$ et $f^{''}$ puis remplace dans $y^{''} - 6 y^{'} + 9 y$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points