Équation non linéaire y' = 2y² − 6y par changement de fonction z = 1/y

Difficile

Énoncé

Résoudre l'équation différentielle :

$y^{'} = 2 y^{2} - 6 y,$

où $y$ est une fonction dérivable qui ne s'annule pas sur $R$ . On pourra poser $z = \frac{1}{y}$ .

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1 Indice 1

Pose $z = \dfrac{1}{y}$ et calcule $z'$ en fonction de $y'$ et $y$ grace a la formule de derivation d'un quotient.

2 Indice 2

Remplace $y'$ par $2y^2-6y$ dans l'expression de $z'$, puis simplifie pour obtenir une equation lineaire du type $z' = az+b$.

3 Indice 3

Resous l'equation lineaire obtenue avec la formule generale $z(x) = \alpha e^{ax} - \dfrac{b}{a}$, puis reviens a $y$ en utilisant $y = 1/z$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pose $z = \frac{1}{y}$ et calcule $z^{'}$ en fonction de $y^{'}$ et $y$ grace a la formule de derivation d'un quotient.

Remplace $y^{'}$ par $2 y^{2} - 6 y$ dans l'expression de $z^{'}$ , puis simplifie pour obtenir une equation lineaire du type $z^{'} = a z + b$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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