Équation fonctionnelle f'(x) = f(−x) ramenée à y'' + y = 0

Difficile
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Énoncé

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Soit une fonction dérivable sur telle que :

  1. Montrer que est deux fois dérivable sur et que .

  2. Résoudre l'équation différentielle , puis déterminer toutes les fonctions vérifiant la relation .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $f$ est deux fois derivable, derive la relation $f'(x)=f(-x)$ en utilisant la regle de derivation d'une fonction composee.
2 Indice 2
Applique ensuite l'hypothese de depart en $-x$ pour faire apparaitre $f(x)$ et obtenir l'equation differentielle demandee.
3 Indice 3
Pour la partie 2, resous $y''+y=0$ avec l'equation caracteristique $r^2+1=0$, puis identifie les coefficients de $\\cos x$ et $\\sin x$ en imposant la condition $f'(x)=f(-x)$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que est deux fois derivable, derive la relation en utilisant la regle de derivation d'une fonction composee.

Applique ensuite l'hypothese de depart en pour faire apparaitre et obtenir l'equation differentielle demandee.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Équation avec second membre : y'' − 4y' = 12eˣ − 12 et condition initiale Tous les exercices du chapitre Équation non linéaire y' = 2y² − 6y par changement de fonction z = 1/y