Une équation fonctionnelle ramenée à y''+y=0

Intermédiaire
Partager

Énoncé

Énoncé

Soit une fonction dérivable sur vérifiant

  1. Montrer que est deux fois dérivable sur et que .

  2. Résoudre l'équation différentielle , puis déterminer toutes les fonctions vérifiant la relation .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour montrer que $f$ est deux fois dérivable, remarque que $f'(x) = f(-x)$ : le membre de droite est une composée de fonctions dérivables, donc $f'$ est dérivable !
2 Indice 2
Dérive la relation $f'(x) = f(-x)$ en utilisant la dérivée d'une composée : tu obtiens $f''(x) = -f'(-x)$. Maintenant applique l'hypothèse de départ au point $-x$ pour remplacer $f'(-x)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour montrer que est deux fois dérivable, remarque que : le membre de droite est une composée de fonctions dérivables, donc est dérivable !

Dérive la relation en utilisant la dérivée d'une composée : tu obtiens . Maintenant applique l'hypothèse de départ au point pour remplacer .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Trois équations linéaires du second ordre avec conditions initiales Tous les exercices du chapitre Équation non linéaire y'=2y²-6y par substitution z=1/y