Équation d'Euler par changement de variable

Difficile
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Soit l'équation différentielle pour . On pose pour .

  1. Montrer que , puis en déduire l'expression de .

  2. Résoudre l'équation différentielle .

Indices

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1 Indice 1
Pose $x=e^{t}$ et utilise la règle de dérivation composée pour exprimer $z'(t)$ en fonction de $y'(x)$, puis $z''(t)$ en fonction de $y''(x)$ et $y'(x)$.
2 Indice 2
Substitue ces expressions dans l'équation $(E)$ pour faire apparaître une équation différentielle linéaire à coefficients constants en $z$, puis résous-la avec l'équation caractéristique (racine double).
3 Indice 3
Pour revenir à $y$, remplace $t$ par $\ln x$ dans l'expression de $z(t)$, en utilisant $e^{-t}=\dfrac{1}{x}$.

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Pose et utilise la règle de dérivation composée pour exprimer en fonction de , puis en fonction de et .

Substitue ces expressions dans l'équation pour faire apparaître une équation différentielle linéaire à coefficients constants en , puis résous-la avec l'équation caractéristique (racine double).

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Second membre polynomial : recherche d'une solution particulière Tous les exercices du chapitre Second membre résonnant traité par changement de fonction