Équation x⁴y''-y=0 par le changement z(x)=xy(1/x)

Difficile
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Énoncé

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On considère l'équation différentielle

et on pose pour .

  1. Montrer que et en déduire l'expression de .

  2. Résoudre l'équation différentielle .

Indices

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1 Indice 1
Dérive $z(x) = x\,y\!\left(\frac{1}{x}\right)$ deux fois en utilisant la dérivée de $\frac{1}{x}$, puis relie $z''$ à $y''\!\left(\frac{1}{x}\right)$.
2 Indice 2
Utilise l'équation $(E)$ appliquée en $\frac{1}{x}$ pour remplacer $y''\!\left(\frac{1}{x}\right)$ et simplifier $z''(x)$ ; tu dois obtenir $z''=z$.
3 Indice 3
Résous $z''-z=0$ (équation caractéristique $r^2-1=0$), puis reviens à $y$ en posant $t=\frac{1}{x}$ dans la relation $z(x)=x\,y\!\left(\frac{1}{x}\right)$.

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La méthode — par où commencer

Dérive deux fois en utilisant la dérivée de , puis relie à .

Utilise l'équation appliquée en pour remplacer et simplifier ; tu dois obtenir .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Équation y''+3y'+2y=6x²+4x-1 avec solution polynomiale Tous les exercices du chapitre Équation d'Euler x²y''+3xy'+y=0 via z(x)=y(eˣ)