Équation d'Euler x²y''+3xy'+y=0 via z(x)=y(eˣ)

Difficile
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On considère l'équation différentielle

et on pose pour .

  1. Montrer que et en déduire l'expression de .

  2. Résoudre l'équation différentielle .

Indices

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1 Indice 1
Dérive $z(x)=y(e^{x})$ deux fois en utilisant la dérivation composée pour exprimer $z'$ et $z''$ en fonction de $y'(e^{x})$ et $y''(e^{x})$.
2 Indice 2
Remplace $t=e^{x}$ dans $(E)$ pour obtenir $e^{2x}y''(e^{x})+3e^{x}y'(e^{x})+y(e^{x})=0$, puis compare avec l'expression de $z''+2z'+z$ trouvée.
3 Indice 3
L'équation caractéristique $r^2+2r+1=0$ a une racine double : la solution générale est de la forme $(\alpha x+\beta)e^{-x}$. Pour revenir à $y$, pose $x=\ln t$.

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La méthode — par où commencer

Dérive deux fois en utilisant la dérivation composée pour exprimer et en fonction de et .

Remplace dans pour obtenir , puis compare avec l'expression de trouvée.

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