Réciproque de la primitive de 1/√(x²+1) et équation y''-y=0

Énoncé

Soit $F$ la primitive de $f:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=0$.

1. Montrer que $F$ est impaire.

2. a) Montrer que $\forall x\in {\mathbb{R}}^{+},F(x)\ge \ln (x+1)$. b) En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)$.

3. Montrer que $F$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $G=F^{-1}$.

4. Montrer que $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $G^{\prime }(x)=\sqrt{1+G^2(x)}$.

5. Montrer que $G$ est deux fois dérivable et est solution de $y^{\prime \prime }-y=0$.

6. Déterminer $G(x)$ puis $F(x)$ en fonction de $x$ (on remarquera que $G(0)=0$ et $G^{\prime }(0)=1$).