دراسة دالة ومعادلة تفاضلية

نعتبر الدالة g المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$g(x)=(x^2+x+1)\cdot e^{-x}$

الجزء A — دراسة الدالة g

1. احسب نهايتي g عند $-\infty$ وعند $+\infty$. فسر مبيانيا النتيجة عند $+\infty$.
2. بين أن $g^{\prime }(x)=-(x^2-x)\cdot e^{-x}=-x(x-1)\cdot e^{-x}$. استنتج جدول التغيرات الكامل للدالة g.
3. بين أن المنحنى الممثل للدالة g يقبل نقطة انعطاف يجب تحديد إحداثياتها.

الجزء B — المعادلة التفاضلية

نعتبر المعادلة التفاضلية (E) : $y^{\prime }+y=(2x+1)\cdot e^{-x}$، حيث y دالة قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$.

4. تحقق أن الدالة h المعرفة بـ $h(x)=x^2\cdot e^{-x}$ هي حل خاص للمعادلة (E).
5. حل المعادلة المتجانسة المرتبطة بها (E${}_0$) : $y^{\prime }+y=0$.
6. استنتج مجموعة حلول المعادلة (E)، ثم حدد الحل $\phi$ للمعادلة (E) الذي يحقق $\phi (0)=1$.