متراجحة أسية وتطبيق – مقارنة مقارب

التمرين 6 — المتراجحة الأساسية ونتائجها

الهدف من هذا التمرين هو إثبات واستغلال المتراجحة $e^x\ge 1+x$ لكل $x\in \mathbb{R}$.

1. لتكن $h(x)=e^x-1-x$. احسب $h^{\prime }(x)$، ادرس تغيرات الدالة $h$ واستنتج أن $e^x\ge 1+x$ لكل $x\in \mathbb{R}$، مع تساوي الطرفين إذا وفقط إذا كان $x=0$.
2. بتعويض $x$ بـ $-x$ في المتراجحة السابقة، بين أن: $1-x\le e^{-x}\le \frac{1}{1+x}$ لكل $x\in ]-1;+\infty [$، $x\ne 0$. (يمكن قبول المتراجحة الثانية إذا لزم الأمر، ولكن يجب تبرير الأولى.)
3. نعتبر المتتالية $(v_n)$ المعرفة لكل $n\ge 1$ بـ $v_n=n\cdot (e^{1/n}-1)$. باستخدام المتراجحة من السؤال 1 مع $x=1/n$، بين أن $v_n\ge 1$ لكل $n\ge 1$.
4. بين أيضًا أن $v_n\le n\cdot \frac{e^{1/n}}{n+1}$ $\times$ ... باستخدام النمو المقارن أو تأطير مناسب، بين أن $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=1$.
5. نضع $w_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. باستخدام المتراجحة $e^x\ge 1+x$ مع $x=1/n$، بين أن $w_n\le e$ لكل $n\ge 1$، ثم أن المتتالية $(w_n)$ تزايدية.