المعادلة التفاضلية والنمذجة: النمو البكتيري

التمرين 5 — المعادلة التفاضلية والنمذجة

يدرس مختبر صيدلي بالدار البيضاء نمو مستنبت بكتيري. نرمز بـ $N(t)$ إلى عدد البكتيريا (بالملايين) في اللحظة $t$ (بالساعات)، حيث $t\in [0;+\infty [$.

يقوم عالم الأحياء بنمذجة التطور بواسطة المعادلة التفاضلية:

(E) : $N^{\prime }(t)=k\cdot N(t)$، حيث $k$ ثابت حقيقي موجب.

نعلم أن $N(0)=2$ (مليوني بكتيريا في اللحظة الأولية) و $N(3)=16$.

1. بين أن كل حل للمعادلة (E) هو على شكل $N(t)=A\cdot e^{kt}$، حيث $A$ ثابت حقيقي.
2. باستخدام الشروط الأولية، حدد $A$ و $k$. عبر عن $k$ بدلالة اللوغاريتم النيبيري.
3. حدد الزمن $t^{\ast }$ (بالساعات) الذي يصل بعده عدد البكتيريا إلى 100 مليون. أعط قيمة مضبوطة ثم قيمة مقربة إلى $10^{-2}$ (استخدم $\ln (2)\approx 0,693$).
4. نفترض الآن أنه تم إدخال مضاد حيوي عند $t=0$، مما يغير النموذج إلى: $M^{\prime }(t)=k\cdot M(t)-c$، مع $M(0)=2$، و $k$ مماثل للسؤال 2، و $c=4\cdot k$. حدد $M(t)$، ثم ادرس سلوك $M(t)$ عندما $t\to +\infty$.