Étude complète d'une fonction avec paramètre — Bac France 2024

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x^2+x+1)e^x$.

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire l'existence éventuelle d'une asymptote.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$. Montrer que $f^{\prime }(x)=(x^2+3x+2)e^x$, puis factoriser $f^{\prime }(x)$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution réelle.
5. On note $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[-2;0]$. Montrer que $g$ est une bijection de $[-2;0]$ vers un intervalle $J$ que l'on déterminera.