Étude de f(x) = (2x − 1)eˣ + 1 — Bac France 2024

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(2x-1)\cdot e^x+1$

1. Calculer la limite de f en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. En déduire le tableau de variations de f.
3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, et vérifier que $\alpha \in ]-1;0[$.
4. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.