معادلة تفاضلية ومتتالية مرتبطة

التمرين 5 — معادلة تفاضلية ومتتالية

الجزء الأول — المعادلة التفاضلية

نعتبر المعادلة التفاضلية (E) : $y^{\prime }-2y=4e^x$، حيث y دالة قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$.

1. حل المعادلة المتجانسة المرتبطة بها $y^{\prime }-2y=0$.
2. بين أنه توجد حل خاص للمعادلة (E) على شكل $x\mapsto a{e}^x$، حيث a ثابتة حقيقية يجب تحديدها.
3. استنتج مجموعة حلول المعادلة (E).
4. حدد الحل الوحيد $\phi$ للمعادلة (E) الذي يحقق $\phi (0)=3$.

الجزء الثاني — المتتالية

نُعرف المتتالية $(u_n)$ بـ $u_0=3$، ولكل عدد صحيح $n\ge 0$ : $u_{n+1}=2u_n-4e^n$.

5. نضع $v_n=u_n-\phi (n)$، حيث $\phi$ هو الحل الذي تم إيجاده في السؤال 4. بين أن $(v_n)$ متتالية هندسية يجب تحديد أساسها وحدها الأول.
6. عبر عن $v_n$ ثم عن $u_n$ بدلالة n.
7. ادرس سلوك $u_n$ عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$.