دراسة دالة بمقارب مائل وأمثلية

التمرين 5 — الدالة الأسية والمقارب المائل

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $f(x)=(x^2+2)e^{-x}$.

1. حدد نهايتي الدالة f عند $-\infty$ وعند $+\infty$. بين أن المستقيم الذي معادلته $y=0$ مقارب أفقي للمنحنى $C_f$ عند $+\infty$.
2. ادرس قابلية اشتقاق الدالة f واحسب $f^{\prime }(x)$. استنتج جدول التغيرات الكامل للدالة.
3. لتكن h الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $h(x)=f(x)-(-x+2)$. احسب $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{h(x)}{x}$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)$. استنتج أنه يوجد مقارب مائل للمنحنى $C_f$ عند $-\infty$، مع تحديد معادلته.
4. نعتبر الدالة F المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $F(x)=-(x^2+2x+2)e^{-x}$. تحقق أن F دالة أصلية للدالة f على $\mathbb{R}$.
5. احسب مساحة الحيز، بوحدة قياس المساحة، المحصور بين $C_f$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=0$ و $x=2$.