Étude complète d'une fonction avec paramètre — Bac Sénégal 2023

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction exponentielle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x^2+x-1)e^x$.

1. Calculer les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer qu'on peut l'écrire sous la forme $f^{\prime }(x)=(x^2+3x)e^x$. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de f.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$ avec $x_1<x_2$. Donner les valeurs exactes de $x_1$ et $x_2$.
4. On note $C_f$ la courbe représentative de f. Déterminer l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.