Étude d'une fonction avec asymptote oblique et optimisation

Exercice 5 — Fonction exponentielle et asymptote oblique

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x^2+2)e^{-x}$.

1. Déterminer les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$. Montrer que la droite $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe $C_f$ en $+\infty$.
2. Étudier la dérivabilité de f et calculer $f^{\prime }(x)$. En déduire le tableau de variations complet.
3. Soit h la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f(x)-(-x+2)$. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{h(x)}{x}$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)$. En déduire qu'il existe une asymptote oblique à $C_f$ en $-\infty$, dont on précisera l'équation.
4. On considère la fonction F définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=-(x^2+2x+2)e^{-x}$. Vérifier que F est une primitive de f sur $\mathbb{R}$.
5. Calculer l'aire, en unités d'aire, de la région délimitée par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.