Suite définie par récurrence et exponentielle — Bac Sénégal 2023

Exercice 4 — Suite et fonction exponentielle

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier $n\ge 0$ : $u_{n+1}=e^{u_n}-1$.

On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^x-x-1$.

1. Montrer que $g(x)\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec égalité si et seulement si $x=0$.
2. En déduire que, pour tout entier $n\ge 0$ : $u_{n+1}\ge u_n$. (La suite est croissante.)
3. Montrer par récurrence que $u_n\ge 0$ pour tout entier $n\in \mathbb{N}$.
4. On admet que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \in \mathbb{R}$. Déterminer $\ell$.
5. Calculer les cinq premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ (valeurs exactes ou arrondi à $10^{-3}$), et vérifier la cohérence avec les résultats précédents.