مسألة: نمو ساكنة الدار البيضاء

التمرين 5 — وضعية-مشكلة: نموذج النمو

تُنمذج دراسة ديموغرافية عدد سكان (بالملايين) لمدينة مغربية كبرى بواسطة الدالة:

$P(t)=a\cdot e^{bt}$

حيث $t$ هو الزمن بالسنوات ابتداءً من سنة مرجعية $t=0$، و $a,b$ ثابتان حقيقيان مع $a>0$.

نعلم أن:

• عند $t=0$، عدد السكان هو 2 مليون نسمة.
• عند $t=10$، عدد السكان هو 4 ملايين نسمة.

1. حدد الثابتين $a$ و $b$. عبر عن $b$ بدلالة $\ln 2$.
2. احسب $P^{\prime }(t)$ وفسر إشارتها في سياق الدراسة.
3. حدد السنة $t^{\ast }$ التي سيتجاوز فيها عدد السكان 10 ملايين نسمة. أعط قيمة مقربة لرقم عشري واحد.
4. نُعرف متوسط معدل النمو على المجال $[0;T]$ بـ: $\tau (T)=\frac{P(T)-P(0)}{T\cdot P(0)}$. بين أن $\tau (T)=\frac{e^{bT}-1}{T}$، ثم احسب $\underset{T\to 0^{+}}{\lim }\tau (T)$ وفسر النتيجة.
5. يؤكد مهندس معماري أن "عدد السكان يتضاعف في زمن ثابت، مهما كانت نقطة الانطلاق". برهن بدقة على هذه العبارة واحسب زمن التضاعف هذا.