متراجحة وتطبيق على حساب النهاية بيّن أنه من أجل كل x ∈ [ 0 ; + ∞ [ : − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) − x ≤ − 2 x 2 + 3 x 3 . استنتج x → 0 + lim x 2 ln ( 1 + x ) − x .

Encadrement de ln(1+x) et limite déduite

Difficile

بيّن أنه من أجل كل $x \in [0; + \infty [$ :
$- \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) - x \leq - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} .$
استنتج $x \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

ضع $\varphi(x) = \ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2}$ وادرس إشارتها بواسطة مشتقتها على $[0;+\infty[$.

2 الإرشاد 2

افعل نفس الشيء مع $\psi(x) = -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} - (\ln(1+x)-x)$ من أجل المتراجحة الأخرى.

3 الإرشاد 3

من أجل النهاية، اقسم التأطير المحصل عليه على $x^2$ (مع $x>0$) ثم طبق مبرهنة التقارب المحصور عندما $x \to 0^+$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

ضع $φ (x) = ln (1 + x) - x + \frac{x ^{2}}{2}$ وادرس إشارتها بواسطة مشتقتها على $[0; + \infty [$ .

افعل نفس الشيء مع $ψ (x) = - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - (ln (1 + x) - x)$ من أجل المتراجحة الأخرى.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points