المتتالية التوافقية واللوغاريتم بيّن أنه من أجل كل x ∈ [ 1 ; + ∞ [ : x + 1 1 < ln ( x + 1 ) − ln ( x ) < x 1 . نضع، من أجل n ∈ N ∗ ، U n = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ + n 1 . بيّن أن ln ( 1 + n ) < U n ، ثم استنتج n → + ∞ lim U n .

Encadrement et divergence de la série harmonique

Difficile

بيّن أنه من أجل كل $x \in [1; + \infty [$ :
$\frac{1}{x + 1} < ln (x + 1) - ln (x) < \frac{1}{x} .$
نضع، من أجل $n \in N^{*}$ ، $U_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ . بيّن أن $ln (1 + n) < U_{n}$ ، ثم استنتج $n \to + \infty lim U_{n}$ .

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1 الإرشاد 1

Pour la question 1, applique le theoreme des accroissements finis a $\ln$ sur l'intervalle $[x;x+1]$.

2 الإرشاد 2

Pour la question 2, applique l'inegalite de droite de la question 1 avec $x=k$ pour $k$ allant de $1$ a $n$, puis fais la somme.

3 الإرشاد 3

Reconnais dans la somme des $\ln(k+1)-\ln(k)$ une somme telescopique.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, applique le theoreme des accroissements finis a $ln$ sur l'intervalle $[x; x + 1]$ .

Pour la question 2, applique l'inegalite de droite de la question 1 avec $x = k$ pour $k$ allant de $1$ a $n$ , puis fais la somme.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

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