Cocyclicité d'un point défini par une moyenne harmonique

نعتبر النقطتين $M_1(z_1)$ و $M_2(z_2)$ بحيث $O$ و $M_1$ و $M_2$ متمايزة اثنين اثنين وغير مستقيمية. لتكن $M(z)$ النقطة ذات اللاحقة $z=\frac{2z_1{z}_2}{z_1+z_2}$.

1. بيّن أن $\frac{z_1-z}{z_2-z}\times \frac{z_2}{z_1}=-1$.

2. استنتج أن $M$ تنتمي إلى الدائرة المحيطة بالمثلث $O{M}_1{M}_2$.

3. بيّن أنه إذا كان $z_2=\overline{z_1}$، فإن $M$ تنتمي إلى المحور الحقيقي.