Suite de points et sommes géométriques

لتكن $a\in \mathbb{C}\setminus \{1\}$. نضع $f(z)=a\overline{z}+ia+i$ ونرمز بـ $A_0$ للنقطة ذات اللاحقة $z_0=4+4i$ وبـ $\Omega$ للنقطة ذات اللاحقة $i$. من أجل $n\in \mathbb{N}$، $A_n$ هي النقطة ذات اللاحقة $z_n$ و $A_{n+1}$ هي النقطة ذات اللاحقة $z_{n+1}=f(z_n)$.

1. تحقق من أن $f(i)=i$ وحدد لاحقة $A_1$.

2. حدد العدد الحقيقي $k$ بحيث $\Omega A_{n+1}=k\Omega A_n$، ثم استنتج $\Omega A_n$ بدلالة $a$ و $n$.

3. نضع $S_n=\sum _{k=0}^n\Omega A_k$ و $T_n=\sum _{k=0}^n{A}_k{A}_{k+1}$. احسب $S_n$، ثم $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$ و $\underset{n\to +\infty }{\lim }{T}_n$ في حالة $|a|<1$.