ليكن z = cos 7 2 π + i sin 7 2 π = e i 7 2 π . نضع a = z + z 2 + z 4 و b = z 3 + z 5 + z 6 . احسب المجموع S = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 . استنتج أن a + b = − 1 . بين أن a × b = 2 ، ثم أن Im ( a ) > 0 . استنتج أن a = − 2 1 + i 2 7 وأن b = a . حدد القيمة المضبوطة لـ u = sin 7 π − sin 7 2 π − sin 7 4 π .

Racines septièmes de l'unité et somme trigonométrique

Difficile

Énoncé

ليكن $z = cos \frac{2 π}{7} + i sin \frac{2 π}{7} = e^{i \frac{2 π}{7}}$ . نضع $a = z + z^{2} + z^{4}$ و $b = z^{3} + z^{5} + z^{6}$ .

1. احسب المجموع $S = 1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} + z^{6}$ .
2. استنتج أن $a + b = - 1$ .
بين أن $a \times b = 2$ ، ثم أن $Im (a) > 0$ .
استنتج أن $a = - \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}$ وأن $b = \overline{a}$ .
حدد القيمة المضبوطة لـ $u = sin \frac{π}{7} - sin \frac{2 π}{7} - sin \frac{4 π}{7}$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

من أجل 1أ)، تعرف على أن $S$ هي مجموع الحدود $7$ الأولى لمتتالية هندسية أساسها $z$، واستعمل الصيغة $\dfrac{1-z^7}{1-z}$ ملاحظا أن $z^7=1$.

2 الإرشاد 2

من أجل 2)، طوّر الجداء $a\times b$ حدا بحد، مختزلا قوى $z$ الأكبر من $6$ بفضل $z^7=1$ (مثلا $z^8=z$). من أجل إشارة $\mathrm{Im}(a)$، عبّر عنها كمجموع أجيب وأعد تجميع الحدود بذكاء لإظهار كميات موجبة.

3 الإرشاد 3

من أجل 3)، $a$ و $b$ حلان لمعادلة من الدرجة الثانية تعرف مجموعهما وجداءهما؛ استعمل علاقات المجموع/الجداء بين الجذور والمعاملات. من أجل 4)، اربط $u$ بـ $\mathrm{Im}(a)$ الموجودة سابقا بمقارنة العبارتين حدا بحد.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

من أجل 1أ)، تعرف على أن $S$ هي مجموع الحدود $7$ الأولى لمتتالية هندسية أساسها $z$ ، واستعمل الصيغة $\frac{1 - z ^{7}}{1 - z}$ ملاحظا أن $z^{7} = 1$ .

من أجل 2)، طوّر الجداء $a \times b$ حدا بحد، مختزلا قوى $z$ الأكبر من $6$ بفضل $z^{7} = 1$ (مثلا $z^{8} = z$ ). من أجل إشارة $Im (a)$ ، عبّر عنها كمجموع أجيب وأعد تجميع الحدود بذكاء لإظهار كميات موجبة.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Rotation, translation et alignement de trois points كل تمارين الدرس Équation paramétrée, rotation et configuration géométrique

Racines septièmes de l'unité et somme trigonométrique

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Racines septièmes de l'unité et somme trigonométrique

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯