قانونا برنولي وبواسون – أعطال شبكة

يدير متعهد اتصالات بالرباط شبكة اتصالات. تتم نمذجة الأعطال وفق حالتين مستقلتين.

الجزء A – قانون ثنائي الحد (Loi binomiale)

كل يوم، يمكن أن تتعرض الشبكة لعطل باحتمال $p=0,1$، بشكل مستقل عن الأيام الأخرى. نعتبر فترة 30 يومًا. نرمز بـ $X$ إلى عدد أيام العطل خلال هذه الفترة.

1. علل أن $X$ يتبع قانونًا ثنائي الحد (loi binomiale) وحدد معاملاته.
2. احسب $E(X)$ و $\sigma (X)$.
3. احسب احتمال أن تتعرض الشبكة لـ 3 أعطال بالضبط خلال هذه الأيام الثلاثين. قرب إلى الألف.
   نعطي: $0,9^{27}$ ≈ 0,0589 ؛ $C(30,3)=4060$.
4. بين أن $P(X\le 1)=31\times 0,9^{29}\times 0,1+0,9^{30}$. استنتج قيمة مقربة.
   نعطي: $0,9^{29}$ ≈ 0,0654 ؛ $0,9^{30}$ ≈ 0,0424.

الجزء B – قانون بواسون (Loi de Poisson)

يتبع عدد طلبات المساعدة التقنية المستلمة في الساعة قانون بواسون (loi de Poisson) بمعامل $\lambda =3$. نرمز بـ $Y$ إلى هذا المتغير العشوائي.

1. احسب $P(Y=0)$، $P(Y=1)$ و $P(Y=2)$. قرب إلى الألف.
   نعطي: $e^{-3}$ ≈ 0,0498.
2. احسب احتمال أن تتلقى المصلحة 3 طلبات على الأقل في ساعة واحدة.
3. علمًا أن المصلحة قد تلقت طلبًا واحدًا على الأقل، احسب احتمال أن تكون قد تلقت طلبًا واحدًا بالضبط. قرب إلى الألف.