La conjecture
Deux nombres premiers et sont dits jumeaux si . Exemples : , , , , , …
La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme :
Il existe une infinité de couples de nombres premiers jumeaux.
Énoncé limpide. Posé essentiellement depuis Euclide (300 av. J.-C.), qui a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers — mais sans préciser leur distribution. Question ouverte depuis 2 300 ans.
L'enjeu
Les nombres premiers semblent « s'espacer » au fur et à mesure qu'on monte dans les entiers : le théorème des nombres premiers dit qu'autour de , la densité est de . Donc l'écart moyen entre premiers consécutifs croît.
Pourtant, expérimentalement, on trouve des jumeaux jusque très haut. Le plus grand connu (octobre 2024) a 388 342 chiffres ! Mais on ne sait toujours pas s'il y en a une infinité.
La percée de Yitang Zhang (2013)
Avril 2013. Yitang Zhang, mathématicien chinois né en 1955, ancien lecteur sans poste fixe (il avait travaillé comme comptable et serveur dans un Subway pendant 7 ans pour survivre), professeur à l'Université du New Hampshire, soumet un article aux Annals of Mathematics — la revue la plus prestigieuse en maths pures.
Son résultat est fracassant :
Il existe une infinité de couples de nombres premiers tels que .
70 millions n'est pas 2. Mais c'est fini. C'est la première fois dans l'histoire qu'on prouve un écart fini entre une infinité de couples de premiers. Avant Zhang, on ne savait même pas si l'écart pouvait être borné.
L'article passe la revue par les pairs en 3 semaines (record absolu). Zhang devient une légende du jour au lendemain.
James Maynard et le projet Polymath (2013-2014)
Le résultat de Zhang est tellement bon que la communauté se mobilise pour l'optimiser. Le projet Polymath 8, lancé par Terence Tao (Fields 2006) en juin 2013, devient une collaboration internationale ouverte sur internet : chaque jour, des dizaines de mathématiciens proposent des améliorations, débattent, raffinent.
En quelques mois, la borne tombe à 4 680 000, puis à 1 000 000, puis à 50 000…
En novembre 2013, James Maynard (jeune chercheur britannique d'Oxford) publie un article qui utilise une méthode entièrement différente et obtient une borne de 600 — record absolu. Maynard recevra plus tard la médaille Fields 2022 pour ses travaux.
En avril 2014, en combinant les méthodes de Zhang et Maynard, le projet Polymath atteint 246. C'est la borne actuelle.
L'état des lieux (2025)
À ce jour, on sait :
- Il existe une infinité de couples premiers avec .
- Si on suppose certaines conjectures additionnelles (« hypothèse d'Elliott-Halberstam »), la borne descend à 12.
- Pour démontrer la vraie conjecture (gap = 2), il faut de nouvelles méthodes.
Pourquoi c'est dur ?
Les nombres premiers semblent distribués aléatoirement, mais ils ne le sont pas vraiment : ils suivent des règles arithmétiques subtiles (congruences, restes modulo de petits nombres). Démontrer qu'une « coïncidence » comme tous deux premiers se produit une infinité de fois nécessite de comprendre ces règles à un niveau bien plus fin que ce qu'on sait actuellement.
La leçon pour toi (BAC SM)
- Une percée mathématique majeure peut venir d'où on ne l'attend pas. Zhang avait 58 ans, aucun poste prestigieux, et il a renversé un problème vieux de 2 300 ans.
- La collaboration ouverte (Polymath) bat le génie isolé. Avec 246 vs 70 000 000, l'effort collectif a divisé la borne par 280 000 en moins d'un an.
- L'arithmétique du bac (congruences, Bézout, Gauss) est l'antichambre directe de ces problèmes. Tu utilises chaque jour les outils que Zhang et Maynard maîtrisent à un niveau supérieur.
Et la conjecture, alors ?
Personne ne sait quand on passera de 246 à 2. Peut-être l'année prochaine, peut-être dans un siècle. C'est la beauté des grands problèmes ouverts : ils restent un horizon qui motive des générations.
Voir aussi : arithmétique BAC SM, hypothèse de Riemann, conjecture de Langlands.