Nombres relatifs : règles des signes et calcul (cours simple)

Les nombres relatifs font partie des premières grandes nouveautés du collège. Dès que l'on parle de température en dessous de zéro, de dette bancaire ou d'altitude sous le niveau de la mer, on a besoin de nombres négatifs. Dans cet article, tu vas apprendre ce qu'est un nombre relatif, comment le repérer sur une droite graduée, comment comparer deux nombres relatifs, et surtout maîtriser le calcul des nombres relatifs avec la fameuse règle des signes.

Qu'est-ce qu'un nombre relatif ?

Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe : il peut être positif (précédé du signe +) ou négatif (précédé du signe -). Par exemple, $+7$ et $-7$ sont deux nombres relatifs.

• Les nombres positifs : $+3$, $+12$, $+0,5$... On peut écrire $3$ tout court, le signe + est sous-entendu.
• Les nombres négatifs : $-4$, $-9$, $-1,5$... Ici le signe est obligatoire.

Le nombre zéro est particulier : il n'est ni positif ni négatif (on dit parfois qu'il est à la fois positif et négatif).

La distance à zéro

La distance à zéro d'un nombre relatif, c'est le nombre obtenu en enlevant son signe. Par exemple :

• La distance à zéro de $-8$ est $8$.
• La distance à zéro de $+8$ est aussi $8$.

Deux nombres comme $+8$ et $-8$, qui ont la même distance à zéro mais des signes différents, sont appelés des nombres opposés. Cette notion sera très utile pour la soustraction.

Repérage sur une droite graduée

On range les nombres relatifs sur une droite graduée. On choisit une origine (le point qui correspond à $0$), puis on place :

• les nombres positifs à droite de zéro ;
• les nombres négatifs à gauche de zéro.

Plus on va vers la droite, plus les nombres sont grands. Plus on va vers la gauche, plus ils sont petits. Ainsi $-5$ est situé plus à gauche que $-2$, donc $-5$ est plus petit que $-2$.

Comparer deux nombres relatifs

Voici les règles simples pour comparer :

• Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif. Exemple : $+1>-100$.
• Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : $+9>+4$.
• Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : $-3>-7$ (car $3<7$).

Exemple résolu : range dans l'ordre croissant $-4$ ; $+2$ ; $-9$ ; $0$ ; $+5$.
On obtient : $-9<-4<0<+2<+5$.

Addition de nombres relatifs

Pour additionner deux nombres relatifs, deux cas se présentent.

Cas 1 : les deux nombres ont le même signe

On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.

• $(+6)+(+3)=+9$
• $(-6)+(-3)=-9$ (on calcule $6+3=9$ et on garde le signe $-$)

Cas 2 : les deux nombres ont des signes différents

On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

• $(+8)+(-3)=+5$ (car $8-3=5$ et $8>3$ donne le signe $+$)
• $(-8)+(+3)=-5$ (car $8-3=5$ et le $-8$ l'emporte, signe $-$)

Soustraction : ajouter l'opposé

La soustraction de nombres relatifs se transforme toujours en addition. La règle d'or : soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

• $(+5)-(+8)$ devient $(+5)+(-8)=-3$
• $(+5)-(-8)$ devient $(+5)+(+8)=+13$
• $(-4)-(-9)$ devient $(-4)+(+9)=+5$

Retiens bien : moins par moins donne plus. Quand un signe $-$ est suivi d'un nombre négatif, les deux signes se transforment en un seul $+$.

Multiplication et division : la règle des signes

Pour la multiplication et la division, on applique la célèbre règle des signes. On calcule d'abord le résultat sur les distances à zéro, puis on détermine le signe :

• $(+)\times (+)=(+)$  →  deux nombres de même signe donnent un résultat positif
• $(-)\times (-)=(+)$
• $(+)\times (-)=(-)$  →  deux nombres de signes différents donnent un résultat négatif
• $(-)\times (+)=(-)$

Les exemples résolus :

• $(+4)\times (+5)=+20$
• $(-3)\times (-5)=+15$
• $(-6)\times (+7)=-42$
• $(+8)\times (-2)=-16$

La division suit exactement la même règle des signes :

• $(-20)÷(+4)=-5$
• $(-18)÷(-6)=+3$

Enchaînements d'opérations et priorités

Quand un calcul mélange plusieurs opérations, on respecte les priorités :

• d'abord les calculs entre parenthèses ;
• ensuite les multiplications et divisions (de gauche à droite) ;
• enfin les additions et soustractions.

Exemple résolu : calcule $A=-3+4\times (-2)$.
On commence par la multiplication : $4\times (-2)=-8$.
Puis l'addition : $A=-3+(-8)=-11$.

Exemple résolu : calcule $B=(-5+8)\times (-2)$.
On commence par la parenthèse : $-5+8=+3$.
Puis le produit : $B=(+3)\times (-2)=-6$.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre addition et multiplication. En addition, $(-6)+(-3)=-9$, mais en multiplication $(-6)\times (-3)=+18$. La règle « moins par moins fait plus » vaut pour le produit, pas pour la somme !
• Oublier de transformer la soustraction. Devant $(+5)-(-8)$, beaucoup écrivent $-3$. Or il faut ajouter l'opposé : $(+5)+(+8)=+13$.
• Mal compter les signes dans un produit. Sers-toi du mémo pair/impair pour ne plus te tromper.
• Ne pas respecter les priorités. Dans $-3+4\times (-2)$, on ne fait pas $-3+4$ d'abord : la multiplication passe avant.

Pour aller plus loin

La maîtrise des nombres relatifs est la base de toute l'algèbre du collège et du lycée. Pour t'entraîner, parcours notre cours Collège dédié, puis teste-toi avec nos exercices corrigés classés par niveau. La régularité est la clé : quelques calculs chaque jour valent mieux qu'une longue séance une fois par semaine.

Une fois les relatifs bien acquis, tu seras prêt à attaquer les puissances, les fractions et le calcul littéral en toute confiance. Bon courage, et n'oublie jamais : compte tes signes !