🔢 Pourquoi l'arithmétique fait peur (à tort)

Le chapitre arithmétique du 2BAC SM intimide. Les énoncés sont courts mais cachent une rigueur formelle élevée. Bezout, Gauss, congruences, équations diophantiennes : chaque outil a sa propre formulation, et les correcteurs sanctionnent durement les approximations.

Bonne nouvelle : avec 4 modèles de rédaction bien rodés, tu sécurises 80 % des questions.

1️⃣ Modèle "Algorithme d'Euclide pour le PGCD"

Calculer PGCD(252, 105).

252 = 2 × 105 + 42
105 = 2 × 42 + 21
 42 = 2 × 21 + 0

Le dernier reste non nul est 21.
Donc PGCD(252, 105) = 21.

Règle : chaque ligne montre une division euclidienne explicite, et la conclusion est encadrée.

2️⃣ Modèle "Théorème de Bezout"

Théorème de Bezout : a et b sont premiers entre eux ⟺ il existe u, v ∈ ℤ tels que au + bv = 1.

Démontrer que 7 et 13 sont premiers entre eux.

Cherchons u, v entiers tels que 7u + 13v = 1.
On a 7 × 2 + 13 × (−1) = 14 − 13 = 1.

Donc d'après le théorème de Bezout,
7 et 13 sont premiers entre eux. ∎

⚙️ Trouver u et v en pratique (Euclide étendu)

Si la valeur n'est pas immédiate, on remonte l'algorithme d'Euclide à l'envers :

PGCD(252, 105) = 21, et on veut 252u + 105v = 21.

252 = 2 × 105 + 42  ⟹  42 = 252 − 2 × 105
105 = 2 × 42 + 21  ⟹  21 = 105 − 2 × 42
                                  = 105 − 2 × (252 − 2 × 105)
                                  = 5 × 105 − 2 × 252

Donc 252 × (−2) + 105 × 5 = 21. ✓

3️⃣ Modèle "Lemme de Gauss"

Lemme de Gauss : si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.

Démontrer : si 5 divise 7n, alors 5 divise n.

PGCD(5, 7) = 1 (5 et 7 sont premiers entre eux).
On a : 5 divise 7n.

D'après le lemme de Gauss, 5 divise n. ∎

Piège : si tu oublies de vérifier que "a est premier avec b", le lemme ne s'applique pas. C'est la première chose à écrire.

4️⃣ Modèle "Congruences modulo n"

Définition : a ≡ b [n] signifie que n divise (a − b).

Propriétés à connaître :

  • a ≡ a [n] (réflexivité)
  • a ≡ b [n] ⟹ b ≡ a [n] (symétrie)
  • Compatibilité avec + et × (mais PAS avec /)
  • a ≡ b [n] et c ≡ d [n] ⟹ a + c ≡ b + d [n] et a·c ≡ b·d [n]
Démontrer que 13ⁿ + 4 est divisible par 7 pour n impair.

13 ≡ 6 ≡ −1 [7].

Pour n impair : 13ⁿ ≡ (−1)ⁿ ≡ −1 [7].

Donc 13ⁿ + 4 ≡ −1 + 4 ≡ 3 [7].

Heu... 3 [7] ≠ 0. L'énoncé est faux pour n=1.
(Vérifier : 13 + 4 = 17 = 2·7 + 3.)

Leçon : les congruences se prêtent à des calculs très rapides. Toujours simplifier au plus petit représentant (souvent ±1, ±2…).

⚠️ Les 4 erreurs typiques en arithmétique

  1. Diviser des congruences : a·c ≡ b·c [n] N'IMPLIQUE PAS a ≡ b [n], sauf si PGCD(c, n) = 1.
  2. Confondre divisibilité et équation : "a divise b" s'écrit "a | b" et signifie "∃ k ∈ ℤ : b = ka". Pas "b/a est entier" (trop informel).
  3. Oublier de vérifier les hypothèses avant d'appliquer Bezout ou Gauss.
  4. Ne pas justifier l'existence des entiers quand on écrit b = ka. Toujours préciser "il existe k ∈ ℤ tel que…".

🎓 Le vocabulaire formel à employer

  • "Soit n ∈ ℕ" pour introduire un entier (jamais "soit n un nombre")
  • "a est premier avec b" ou "PGCD(a, b) = 1" (équivalent)
  • "D'après le théorème de Bezout…" / "D'après le lemme de Gauss…" / "D'après l'égalité de Bezout…"
  • Encadrer la conclusion finale

Articles connexes : guide ultime arithmétique BAC SM, comment citer un théorème.