🎲 Probabilités 2BAC SM #35 / 38

Loi binomiale : oublier le coefficient $(k n)$

Écrire $p (X = k) = p^{k} (1 - p)^{n - k}$ sans le coefficient binomial : on ne compte qu'un seul arrangement.

🧠 Biais cognitif identifié : Formule tronquée

❌ L'erreur typique

Pour une variable $X$ qui suit la loi binomiale $B (n, p)$ , l'élève écrit $p (X = k) = p^{k} (1 - p)^{n - k}$ en oubliant le coefficient $(k n)$ . La formule correcte est $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

Exemple chiffré : avec $n = 4$ et $p = 0, 5$ , pour $k = 2$ on a $(2 4) = 6$ , donc $p (X = 2) = 6 \times 0, 5^{2} \times 0, 5^{2} = 0, 375$ . Sans le coefficient on trouverait $0, 0625$ , six fois trop petit.

✅ Le réflexe pour ne plus jamais y tomber

Réflexe : écrire d'abord le coefficient $(k n)$ , puis les puissances. Une loi bien posée vérifie $k = 0 \sum n p (X = k) = 1$ .

Identifier $n$ , $p$ et $k$ avant tout calcul.
Toujours faire apparaître $(k n)$ .
Test rapide : la somme sur tous les $k$ vaut $1$ .

🎯 Où ça te coûte des points au BAC SM

Au Bac Sciences Exp (PC/SVT), l'exercice de probabilités comporte presque toujours une loi binomiale (tirages avec remise, succès/échec). Oublier $(k n)$ fait perdre tous les points du calcul de $p (X = k)$ et fausse ensuite l'espérance et les questions suivantes.

💡 Pour les curieux : pourquoi ton cerveau fait ça déplier ▾replier ▴

L'élève raisonne sur une seule suite de résultats (par exemple SSEE) et oublie qu'il existe $(k n)$ façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves. Le coefficient $(k n)$ compte précisément ces arrangements.