🎲 Probabilités 2BAC SM #36 / 38

« Au moins un » : oublier l'événement contraire

Calculer $p (X \geq 1)$ par une longue somme au lieu de $1 - p (X = 0)$ .

🧠 Biais cognitif identifié : Calcul direct évitable

❌ L'erreur typique

Pour « au moins un succès », l'élève tente $p (X \geq 1) = p (X = 1) + p (X = 2) + \dots + p (X = n)$ , une somme longue propice aux oublis. Le réflexe est l'événement contraire : $p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0)$ .

Exemple chiffré : avec $X$ suivant $B (5; 0, 2)$ , on a $p (X = 0) = 0, 8^{5} = 0, 32768$ , donc $p (X \geq 1) = 1 - 0, 32768 = 0, 67232$ . La somme directe des cinq termes donne le même résultat avec cinq fois plus de calculs.

✅ Le réflexe pour ne plus jamais y tomber

Réflexe : dès qu'on lit « au moins un », écrire $p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0)$ .

« Au moins un » $\Rightarrow$ contraire = « aucun ».
$p (X = 0) = (1 - p)^{n}$ pour une binomiale.
« Au moins deux » $\Rightarrow 1 - p (X = 0) - p (X = 1)$ .
Vérifier que le résultat est entre $0$ et $1$ .

🎯 Où ça te coûte des points au BAC SM

Au Bac Sciences Exp (PC/SVT), la question « probabilité qu'au moins un… » revient très souvent. La somme directe fait perdre du temps et multiplie les erreurs ; le correcteur attend explicitement le passage par $1 - p (X = 0)$ .

💡 Pour les curieux : pourquoi ton cerveau fait ça déplier ▾replier ▴

L'élève traduit littéralement « au moins un » par une addition de tous les cas favorables, sans voir que le complémentaire de ${X \geq 1}$ est l'unique événement ${X = 0}$ , bien plus simple.