🧮 Algèbre & calcul 2BAC SM #38 / 38

$e^{l n x} = x$ : oublier la condition $x > 0$

Appliquer $e^{l n x} = x$ sans $x > 0$ , ou le confondre avec $ln (e^{x}) = x$ valable sur $R$ .

🧠 Biais cognitif identifié : Domaine ignoré

❌ L'erreur typique

L'identité $e^{l n x} = x$ n'a de sens que si $x > 0$ (sinon $ln x$ n'existe pas), alors que $ln (e^{x}) = x$ est valable pour tout $x \in R$ . L'élève les confond, ou résout une équation avec $ln$ sans poser de condition d'existence.

Exemple : résoudre $ln (x - 2) = 0$ exige d'abord $x - 2 > 0$ , soit $x > 2$ . On obtient $x - 2 = 1$ donc $x = 3$ , qui est bien $> 2$ : solution acceptée. Sans la condition, on validerait à tort des solutions hors domaine.

✅ Le réflexe pour ne plus jamais y tomber

Réflexe : avant toute manipulation de $ln$ , écrire la condition d'existence et vérifier les solutions à la fin.

$e^{l n x} = x$ seulement si $x > 0$ .
$ln (e^{x}) = x$ pour tout $x \in R$ .
Poser le domaine avant de résoudre une équation avec $ln$ .
Rejeter toute solution hors du domaine.

🎯 Où ça te coûte des points au BAC SM

Au Bac Sciences Exp (PC/SVT), l'étude de fonctions avec $ln$ et $exp$ est centrale (domaine, équations, limites). Oublier la condition $x > 0$ ou accepter une solution hors domaine coûte des points sur la résolution d'équations et sur la rigueur du domaine de définition.

💡 Pour les curieux : pourquoi ton cerveau fait ça déplier ▾replier ▴

L'élève mémorise « $ln$ et $exp$ s'annulent » comme une règle symétrique, en oubliant que $ln$ n'est défini que sur $] 0; + \infty [$ alors que $exp$ l'est sur $R$ : les domaines diffèrent.