🧮 Algèbre & calcul 1BAC SM #10 / 38

Multiplier une inégalité par une expression de signe inconnu

Sans connaître le signe, tu ne sais pas si l'inégalité doit changer de sens. Erreur fatale en étude de fonction.

🧠 Biais cognitif identifié : Généralisation abusive

❌ L'erreur typique

L'erreur consiste à multiplier (ou diviser) une inégalité par une expression algébrique dont le signe n'est pas déterminé. Par exemple, face à $x - 1 < 2$, un élève peut être tenté de multiplier par $x$ pour obtenir $x(x - 1) < 2x$, puis de simplifier. C'est une faute grave. Si $x < 0$, l'inégalité change de sens ; si $x > 0$, elle conserve son sens ; et si $x = 0$ , la multiplication par $x$ aboutit à $0 < 0$, ce qui est faux. Cette manipulation sans discernement conduit à des ensembles de solutions erronés, souvent incomplets ou contenant des valeurs incorrectes.

Considérons l'inéquation $\frac{1}{x} < 1$. Une erreur fréquente est de multiplier par $x$ pour obtenir $1 < x$, concluant que la solution est $x \in ]1, +\infty[$. Or, si $x < 0$, par exemple $x = -1$, alors $\frac{1}{-1} = -1 < 1$, ce qui est vrai, mais $-1 \notin ]1, +\infty[$. La solution correcte nécessite une étude de cas ou un passage par un tableau de signes, menant à $x \in ]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[$. L'omission de la condition sur le signe de $x$ est fatale.

✅ Le réflexe pour ne plus jamais y tomber

Avant toute multiplication ou division d'une inégalité par une expression variable, déterminez impérativement le signe de cette expression. Si le signe n'est pas constant sur le domaine d'étude, vous devez procéder par disjonction de cas ou par l'étude du signe de l'expression ramenée à zéro.

Règle d'or : Pour résoudre une inéquation de la forme $A(x) < B(x)$, préférez toujours ramener l'inéquation à $A(x) - B(x) < 0$ et étudier le signe de la différence.
Tableau de signes : C'est l'outil le plus robuste. Il permet de gérer les produits et quotients d'expressions de signes variables sans risque d'oubli des cas.
Vérification systématique : Après avoir trouvé un ensemble de solutions, testez des valeurs critiques (proches des bornes, à l'intérieur et à l'extérieur des intervalles) dans l'inéquation d'origine pour détecter les incohérences.

🎯 Où ça te coûte des points au BAC SM

Cette erreur est omniprésente dans les exercices d'étude de fonctions au BAC SM, notamment lors de l'étude du signe de la dérivée première $f^{'} (x)$ pour déterminer les variations, ou de la dérivée seconde $f^{''} (x)$ pour la convexité. Par exemple, si $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{x ^{2}}$ , vouloir résoudre $f^{'} (x) > 0$ en multipliant par $x^{2}$ sans considérer que $x^{2}$ est toujours positif (et non nul) est une erreur courante. Multiplier par $x^{2}$ est correct ici car $x^{2} > 0$ pour $x \neq = 0$ , mais l'élève doit le justifier explicitement.

Elle apparaît aussi dans la résolution d'inéquations rationnelles ou avec des racines carrées, où les conditions d'existence et de signe des termes sont cruciales. Les sujets de BAC SM testent la rigueur. Une omission de cas ou une inversion de sens d'inégalité due à ce biais coûtera des points essentiels. Les questions sur les asymptotes obliques, où l'on étudie le signe de $f (x) - (a x + b)$ , sont également un terrain propice à cette erreur si l'on manipule des expressions sans précaution.

💡 Pour les curieux : pourquoi ton cerveau fait ça déplier ▾replier ▴

Ici joue la règle intuitive « même opération des deux côtés $\Rightarrow$ tout est préservé » (Stavy & Tirosh). Tu sais qu'on garde le sens d'une inégalité en multipliant des deux côtés ; mais cette règle n'est vraie que par un nombre positif. Multiplier par une expression de signe inconnu, comme $x$ ou $x - 2$ , c'est multiplier peut-être par un négatif, qui retourne le sens : $2<3$ mais $-2>-3$. D'où la discipline : ou bien tu connais le signe, ou bien tu sépares en cas $x > 0$ et $x<0$, ou tu passes tout d'un côté pour éviter de multiplier.