« f croissante donc f′ > 0 » — confondre strict et large

L'erreur est la confusion systématique entre les propriétés strictes et larges des fonctions et de leurs dérivées. Un élève conclut fréquemment que si une fonction $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$, alors sa dérivée $f^{\prime }$ est strictement positive sur $I$. C'est faux.

L'exemple canonique est la fonction $f(x)=x^3$. Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f^{\prime }(x)=3x^2$. Or, $f^{\prime }(0)=0$. La dérivée n'est pas strictement positive en tout point. Un autre exemple est $f(x)=x-\cos (x)$. Sa dérivée est $f^{\prime }(x)=1+\sin (x)$. Cette fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car $f^{\prime }(x)\ge 0$ et $f^{\prime }(x)=0$ seulement en des points isolés ($x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$). Pourtant, $f^{\prime }(x)$ n'est pas strictement positive partout.

La prévention passe par une dissociation systématique des implications :

• Si $f^{\prime }(x)>0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. (VRAI)
• Si $f^{\prime }(x)<0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$. (VRAI)
• Si $f^{\prime }(x)\ge 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. (VRAI)
• Si $f$ est strictement croissante sur $I$, alors $f^{\prime }(x)\ge 0$ sur $I$. (VRAI)

L'heuristique à adopter est la suivante : « Strictement croissant n'implique pas strictement positif pour la dérivée. Toujours penser à $x^3$ à l'origine. » Avant de conclure à $f^{\prime }(x)>0$, vérifiez si la fonction est simplement croissante ou si la nullité de la dérivée n'intervient qu'en des points isolés. Le théorème des accroissements finis et ses corollaires sont précis : $f$ est strictement monotone si $f^{\prime }$ garde un signe constant et ne s'annule qu'en des points isolés.

Cette erreur est récurrente dans les exercices d'étude de fonctions au BAC SM, notamment pour déterminer les intervalles de stricte monotonie. Les questions peuvent être formulées ainsi : « Étudier les variations de $f$. » ou « Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. » L'élève calcule $f^{\prime }(x)$, trouve par exemple $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2$, et conclut à tort que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et strictement croissante sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. La bonne conclusion est que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car $f^{\prime }(x)\ge 0$ et ne s'annule qu'en $x=1$, un point isolé.

Un exemple typique serait une fonction dont la dérivée est $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x^2+1)}{(x^2-1{)}^2}$ ou $f^{\prime }(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$. Dans le premier cas, $f^{\prime }(x)$ est toujours strictement positive (sauf aux points de non-définition). Dans le second cas, $f^{\prime }(x)\ge 0$ et $f^{\prime }(x)=0$ seulement en $x=0$. La conclusion correcte est que $f$ est strictement croissante sur les intervalles où elle est définie. La distinction est cruciale pour l'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution à $f(x)=k$. Une stricte monotonie est requise pour l'unicité, et non simplement une monotonie large.