Hérédité écrite à l'envers : supposer P(n+1) pour démontrer P(n+1)

L'erreur classique dans un raisonnement par récurrence est de supposer $P(n+1)$ pour ensuite tenter de le démontrer. C'est une petitio principii, une pétition de principe. Vous démontrez ce que vous avez déjà admis. Par exemple, si l'objectif est de prouver que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $2^n>n$, l'étape d'hérédité consiste à montrer que si $P(n)$ est vraie (i.e., $2^n>n$), alors $P(n+1)$ est vraie (i.e., $2^{n+1}>n+1$).

L'erreur survient lorsque l'élève écrit : « Supposons que $2^{n+1}>n+1$. Alors $2\cdot 2^n>n+1$... » et manipule cette inégalité pour arriver à une conclusion. Ce type de raisonnement est circulaire et invalide. Le correcteur identifie immédiatement cette faille logique et attribue un 0 point à l'étape d'hérédité, rendant la preuve entière caduque.

Pour éviter cette erreur, la méthode la plus efficace est d'écrire explicitement et séparément l'hypothèse de récurrence et la conclusion à atteindre. Avant de commencer l'étape d'hérédité, rédigez sur votre brouillon :

• Hypothèse de récurrence (HR) : P(n) est vraie.
• But : Démontrer P(n+1).

Ensuite, ne manipulez que l'hypothèse de récurrence pour construire la démonstration de $P(n+1)$. Ne touchez jamais à l'expression de $P(n+1)$ elle-même avant d'y être parvenu par déduction.

Une autre heuristique est de toujours commencer la démonstration de l'hérédité par « Supposons $P(n)$ vraie. Montrons $P(n+1)$ vraie. » et de ne jamais écrire « Supposons $P(n+1)$ vraie. » en début de démonstration. Si vous vous surprenez à écrire la propriété pour $n+1$ au début de votre raisonnement, c'est un signal d'alarme immédiat : vous êtes probablement en train de commettre une pétition de principe.

Cette erreur est fréquemment rencontrée dans les sujets du BAC SM, notamment dans les exercices sur les suites numériques, les inégalités, les divisibilités ou les propriétés de fonctions. Par exemple, lors de la démonstration par récurrence d'une propriété de type $u_n>L$ ou $u_{n+1}-u_n>0$, l'élève peut être tenté de partir directement de l'inégalité pour $n+1$ au lieu de manipuler l'hypothèse pour $n$.

Les concepteurs de sujets du BAC SM connaissent bien cette erreur et les barèmes sont souvent impitoyables. Un raisonnement par récurrence mal structuré à l'étape d'hérédité, même si le résultat final est correct par hasard, sera sanctionné sévèrement. La rigueur logique est une compétence fondamentale évaluée en Sciences Mathématiques. Maîtriser parfaitement la structure du raisonnement par récurrence est non négociable pour viser le 18+.